解题思路：（1）由已知易得a+c=6，2×c2−a2a＝6，解出a，b，c值后，可得双曲线的方程；（2）设直线l的方程为y=k（x-2），代入3x2-y2=3，利用韦达定理，结合向量垂直的充要条件，可求出k值，进而得到直线l的方程．本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，双曲线的简单性质，联立方程，设而不求，韦达定理，是解答此类问题的三架马车．
解 （1）∵AB⊥AC，BC⊥x轴，|BC|=6，
∴AF=a+c=6，
直线BC：x=c，代入
x2
a2−
y2
b2＝1，得：y2=
(c2−a2)2
a2，B（c，
c2−a2
a），C（c，-
c2−a2
a）．
∴
a+c＝3
2
c2−a2
a＝6
∴a=1，c=2，从而b2=3
所求双曲线的方程为x2-
y2
3=1．
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），代入3x2-y2=3，得：（3-k2） x2+4k2x-4k2-3=0D（x1，y1），E（x2，y2）由题意x1x2=
−4k2−3
3−k2＜0，∴-
3＜k＜
3
x1+x2=
−4k2
3−k2，y1+y2=k（x1+x2）-4 k=[−12k
3−k2
∵P为DE的中点，∴P（
−2k2
3−k2，
−6k
3−k2），A（-1，0），F（2，0）
又∵以AF为直径的圆恰好经过P点，∴
/AP•
FP]=0
（
−2k2
3−k2+1，[−6k
3−k2）（
−2k2
3−k2-2，
−6k
3−k2）=0，
（
−2k2
3−k2+1）（
−2k2
3−k2-2）+（
−6k
3−k2）2=0，化简得54k2=18，k=±
3/3]
此时直线l的方程y=±
3
3（x-2）．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．
考点点评： 本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，双曲线的简单性质，联立方程，设而不求，韦达定理，是解答此类问题的三架马车．
