解题思路：（1）求导函数，利用f'（x）是偶函数，求得b，再利用f′（1）=0，可求a的值，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）求导函数，可求函数在[-2，2]上的最值，对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|，即可求出实数c的最小值；
（3）设切点，求出切线方程，过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，可得方程
2
x
0
3
-6
x
0
2
+6+m=0
有三个不同的实数解，即函数g（x）=2x3-6x2+6+m有三个不同的零点，从而可求实数m取值范围．
（1）∵f'（x）=3ax2+2bx-3，…（1分）
根据题意f'（x）是偶函数得b=0…（2分）
又f'（1）=0，∴3a-3-0，
∴a=1 …（3分）
∴f（x）=x3-3x．…（4分）
（2）令f'（x）=3x2-3=0，即3x2-3=0，解得x=±1．…（5分）
x -2 （-2，-1） -1 （-1，1） 1 （1，2） 2
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） -2 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 0∵f（-1）=2，f（1）=-2，
∴当x∈[-2，2]时，f（x）max=2，f（x）min=-2．…（6分）
则对于区间x2=-
a上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|=4，
所以c≥4．
所以c的最小值为4．…（8分）
（3）∵点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，
∴设切点为（x0，y0）．则y0=x03-3x0．
∵f′(x0)=3x02-3，∴切线的斜率为3x02-3．
则3x02-3=
x03-3x0-m
x0-2，即2x03-6x02+6+m=0．…（10分）
∵过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程2x03-6x02+6+m=0有三个不同的实数解．
即函数g（x）=2x3-6x2+6+m有三个不同的零点．…（11分）
则g'（x）=6x2-12x．
令g'（x）=0，解得 x=0或x=2．
x （-∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
g'（x） + 0 - 0 +
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴
g(0)＞0
g(2)＜0，即
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查学生分析转化问题的能力，正确转化是关键．
