如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1
1个回答
（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴?
b
2a＝?
b
2×1＝1．
∴b=-2．
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴c=-3．
∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；
（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x2-2x-3=0．
∴x1=-1，x2=3．
∵A点在B点左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）．
设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则
0＝3k+m
?3＝m，
∴
k＝1
m＝?3，
∴直线BC的函数表达式为：y=x-3；
（3）①∵AB=4，PQ=[3/4]AB，
∴PQ=3．
∵PQ⊥y轴，
∴PQ∥x轴．
则由抛物线的对称性可得PM=[3/2]，
∵对称轴是直线x=1，
∴P到y轴的距离是[1/2]．
∴点P的横坐标为?
1
2．
∴P（?
1
2，?
7
4）．
∴F（0，?
7
4）．
∴FC=3-OF=3-[7/4]=[5/4]．
∵PQ垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=[5/2]．
②P1（1-
2，-2），P2（1-
6
2，-[5/2]）．
设OE=a，则GE=2-a，
∵当CE为斜边时，
∴DG2=CG?GE，即1=（OC-OG）?（2-a），
∴1=1×（2-a）．
∴a=1．
∴CE=2．
∴OF=OE+EF=2．
∴F、P的纵坐标为-2．
把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1+
2或1-
2
∵点P在第三象限，
∴P1（1-
2，-2）．
∵当CD为斜边时，DE⊥CE，
∴OE=2，CE=1．
∴OF=2.5．
∴P和F的纵坐标为：-[5/2]．
把y=-[5/2]，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-
6
2，或1+
6
2，
∵点P在第三象限，
∴P2（1-
6
2，-[5/2]）．
综上所述：满足条件为P1（1-
2，-2），P2（1-
6
2，-[5/2]）．
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