前两问我大致说一下,和楼主对对答案~
1.很明显,椭圆的交点在x轴上,可设椭圆标准方程为:x^/a^ + y^/b^=1,有：
a^-b^=c^,且b=2√2,于是有a^-c^=8 ①
A为右准线x=a^/c与x轴的交点,故其坐标为(a^/c,0)
结合0(0,0),F(c,0),以及条件|OF|=2|FA|
c=2(a^/c - c)
c^/a^=2/3 ②
离心率e=c/a=√6/3
联立①,②,可求出:a=2√6,c=4
∴椭圆方程为：x^/24 +y^/8=1
2.A点可求出是(6,0),故过A的直线PQ方程可设为：y=k(x-6)
联立PQ方程与椭圆方程,消去y,可得出关于x的一元二次方程：
(3k^+1)x^-36k^x+(108k^-24)=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
则有：
x1+x2=36k^/(3k^+1) ③
x1*x2=(108k^-24)/(3k^+1) ④
将P,Q坐标代入PQ的方程：
y1=k(x1-6)
y2=k(x2-6)
y1*y2=k^[x1*x2-6k(x1+x2)+36]
将③,四④代入,可得：
y1*y2=12k^/(3k^+1) ⑤
由O(0,0),P(x1,y1),Q(x2,y2)
OP={x1,y1},OQ={x2,y2}
由OP*OQ=0
x1*x2+y1*y2=0
将④,⑤式代入,可解出：
k=±√5/5
3.右焦点C可求出是C(4,0)
M为过P点且垂直于椭圆准线L的直线与椭圆的交点,由椭圆关于x轴对称的性质,可知M,P两点
关于x轴对称,∵P(x1,y1),∴M(x1,-y1)
由此,已有坐标：P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,-y1),F(4,0),A(6,0)
根据向量的坐标表示法,可得：
AP={x1-6,y1},AQ={x2-6,y2}
FM={x1-4,-y1},FQ={x2-4,y2}
由已知：AP=入AQ
x1-6=入*(x2-6) ⑥
y1=入*y2 ⑦
由⑦得：
-y1=(-入)*y2 ⑧ 即FM与FQ的y向量相差倍数-入;
x1-4,x2-4都是数值,两者一定可以表示成：
x1-4=a*(x2-4) 即：a=(x1-4)/(x2-4)
由⑥得：
入=(x1-6)/(x2-6)
于是：
入+a=(x1-6)/(x2-6) + (x1-4)/(x2-4)=[(x1-6)(x2-4)+(x2-6)(x1-4)]/[(x2-6)(x2-4)]
此式的分子单独化简：
(x1-6)(x2-4)+(x2-6)(x1-4)=2x1*x2 -10(x1+x2) +48
将第2问中的③,④式代入上式,最终可得到这个分子为0,即：入+a=0
a=-入
于是有：
x1-4=-入*(x2-4) 即FM与FQ的x向量也是相差（-入）倍
由此,二维向量FM,FQ的x,y向量均相差(-入)倍,故可得出结论：
FM=(-入)*FQ
在此要点明一处非常容易出错的地方：
不能够直接就设：FM=a*FQ !
这样的设法,可以得出：a+入=FM/FQ + AP/AQ=(FM*AQ+AP*FQ)/(FQ*AQ)
只要根据FM,AQ,AP,FQ等向量的表达式,就可以证明出FM*AQ+AP*FQ=0,从而得出a=-入的结论,楼主会不会想问,这样不是更直接吗?!
其实,这样设的前提基础就错了,因为,要想将向量x,与向量y设成如上成比例的形式,必然要遵守一个前提,即：向量x,y必须已知是共线的向量!如果不是共线的话,那么,两者不能够设成这样的比例关系!
而在本题中,无疑就是要先证明M,F,Q三点共线,才能够如此设定!而想要证明M,F,Q三点共线,在证明的过程中却发现,必须首先要证明x1-4=(-入)*(x2-4),即,所要求证的结论反而需要结论作为条件这样的悖论!这明显是不能够得出的,因此,此题一定不能那样做!也许楼主自己不会犯这样的错误,我只是在此一提
