已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦 - 已解决

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点O作倾

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点O作倾斜角为[π/3]的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．

（1）求⊙M和抛物线C的方程；

（2）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．

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（1）因为[p/2]=OA?cos60°=2×[1/2]=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y²=4x

设⊙M的半径为r，则r=[OB/2×

cos60°＝2，所以⊙M的方程为（x-2）²+y²=4；

（2）证明：以点Q为圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦

设点Q（-1，t），则QS²=QM²-4=t²+5，

所以⊙Q的方程为（x+1）²+（y-t）²=t²+5

从而直线ST的方程为3x-ty-2=0（*）

因为x=

3]，y=0一定是方程（*）的解，所以直线ST恒过一个定点，且该定点坐标为（[2/3]，0）．

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