解题思路：（1）设出抛物线的顶点式y=a（x-2）2+4，将原点的坐标代入解析式就可以求出a的值，从而求出函数的解析式．
（2）①由（1）抛物线的解析式可以求出E点的坐标，从而可以求出ME的解析式，再将P点的坐标代入直线的解析式就可以判断P点是否在直线ME上．
②设出点N（t，-（t-2）2+4），可以表示出PN的值，根据梯形的面积公式可以表示出S与t的函数关系式，从而可以求出结论．
③通过平移后可以表示出其解析式，利用其解析式就可以求出Q点的坐标，再利用三角形的面积公式就可以求出S与m的函数关系式．
（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+4，
∵抛物线过点m（2，4）和原点，
∴0=4a+4，
∴a=-1
∴抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+4
（2）①∵y=-（x-2）2+4
∴当y=0时，-（x-2）2+4=0，
∴x1=0，x2=4，
∴E（4，0），
设直线ME的解析式为：y=kx+b，则
4＝2k+b
0＝4k+b，
解得：
k＝−2
b＝8，
∴直线ME的解析式为：y=-2x+8，
∵矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图甲所示的位置沿x轴的正方向匀速平移，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，
∴当t=[5/2]时，P（[5/2]，[5/2]）
∴当x=[5/2]时，y=3≠[5/2]，
∴当t＝
5
2时，点P不在直线ME上．
②设点N（t，-（t-2）2+4），则P（t，t），
∴PN=-t2+3t，
∵AD=2，AB=3
∴S=
(−t2+3t+3)×2
2=-t2+3t+3，
∴S=-（t2-3t+[9/4]-[9/4]）+3=-（t-[3/2]）2+[21 /4]
∴当t=[3/2]时，S的最大值是
点评：
本题考点： 二次函数综合题；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积．
考点点评： 本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用．
