如图所示，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=1，BC=2，CC 1 =5，M为棱CC 1 上一
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（1）过点M作MN ∥ C 1D，交D 1D于N，连接A 1N，
则∠A 1MN或其补角就是异面直线A 1M和C 1D 1所成角
在Rt△A 1NM中，AB=1，A 1N=
2 2 +(
3
2 ) 2 =
5
2
∴tan∠A 1MN=
A 1 N
MN =
5
2
由此可得，当 C 1 M=
3
2 时，异面直线A 1M和C 1D 1所成角的正切值为
5
2 ；
（2）∵A 1B 1⊥平面BB 1C 1C，BM⊆平面BB 1C 1C，
∴A 1B 1⊥BM，
因此可得：只要B 1M⊥BM，就有BM⊥平面A 1B 1M．
假设存在M点，使得BM⊥平面A 1B 1M，设C 1M=x
则矩形BB 1C 1C中，B 1M⊥BM，所以∠MB 1C 1=∠MBB 1
∴Rt△B 1MB ∽ Rt△MB 1C 1，所以
C 1 M
B 1 M =
B 1 M
B 1 B
∴B 1M 2=B 1B•C 1M，可得4+x 2=5x，解之得x=1或4
∴当C 1M的长为1或4时，存在点M使得BM⊥平面A 1B 1M．
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