解题思路：（1）由函数f（x）=b•ax（a＞0且a≠1），且f（k）=8f（k-3）（k≥4，k∈N*），知8a4=64a，解得a=2．由此能够包出f（1）+f（2）+…+f（n）=8[a+a2+a3+…+an]=
8×
a(1−
a
n
)
1−a
=16（2n-1）．
（2）由f（1）、16、128依次是某等差数列的第1项，第k-3项，第k项，设等差数列的公差为d，则d=[112/3]．由a=2，知f（1）=2b，b=[248−56k/3]．由题意知，要使方程b2n=2（n2-100）有正整数解，则
b＝
248−56k
3
＝64−56m，m∈
N
+
，由此进行分类讨论能够得到存在正整数n，使得f（n）=2（n2-100）成立，此时b=-48．
（1）∵函数f（x）=b•ax（a＞0且a≠1），且f（k）=8f（k-3）（k≥4，k∈N*），
∴f（4）=8f（1），即8a4=64a，
解得a=2．
∵b=8，f（x）=8ax，
∴f（1）+f（2）+…+f（n）
=8[a+a2+a3+…+an]
=8×
a(1−an)
1−a=16（2n-1）．
（2）∵f（1）、16、128依次是某等差数列的第1项，第k-3项，第k项，
设等差数列的公差为d，∴d=[112/3]，
由（1）知a=2，∴f（1）=2b，
∴128=2b+（k-1）×[112/3]，∴b=[248−56k/3]（k≥4，k∈Z），（*）
由题意知，要使方程b2n=2（n2-100）有正整数解，结合（*）式可知b的取值为整数，
故b＝
248−56k
3＝64−56m，m∈N+，
令g（x）=f（x）-2（x2-100）=b2x-2x2+200，
①当b＞0时，b=8，g（x）=8•2x-2x2+200，
g′（x）=bln2•2x-4x=4（2ln2•2x-x），
当x∈[1，+∞）时，2ln2•2x-x＞2x-x＞0，
则g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）内单调递增，
而g（1）=214＞0，∴g（x）＞0，x∈[1，+∞），
∴当b=8时，不存在正整数n，使得f（n）=2（n2-100）成立．
②当b＜0时，由b=64-56m，m∈N+可知
若m＞2，m∈N+，即b=64-56m≤-104，
则g（x）=b2x-2x2+200＜0对一切x∈[1，+∞）都成立，
∴不存在正整数n，使得f（n）=2（n2-100）成立．
当m=2时，b为-48，g（x）=-48×2x-2x2+200，
∴g（x）在[1，+∞）内单调递减，
又g（1）=102＞0，
g（2）=-48×4-8+200=0，
∴存在n=2，满足f（n）=2（n2-100）．
综上所述：存在正整数n，使得f（n）=2（n2-100）成立，此时b=-48．
点评：
本题考点： 数列与函数的综合．
考点点评： 本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用，合理地进行等价转化．
