已知数列{an}满足an+1＝an−22an−3，n∈N*，a1＝12．
3个回答

解题思路：（Ⅰ）由递推公式，令n=2，3，4易得；

（Ⅱ）通过a2，a3，a4猜想，再用数学归纳法证明，要注意分两步证明．

（Ⅰ）由递推公式，得a2＝

a1−2

2a1−3＝

1

2−2

2•

1

2−3＝

3

4，（3分）

（Ⅱ）猜想：an＝

2n−1

2n．（5分）

证明：①n=1时，由已知，等式成立．（6分）

②设n=k（k∈N*）时，等式成立．即ak＝

2k−1

2k．（7分）

所以ak+1＝

ak−2

2ak−3＝

2k−1

2k−2

2•

2k−1

2k−3＝

2k−1−4k

4k−2−6k＝

2k+1

2k+2＝

2(k+1)−1

2(k+1)，

所以n=k+1时，等式成立．（9分）

根据①②可知，对任意n∈N*，等式成立．即通项an＝

2n−1

2n．

点评：

本题考点： 数列递推式；数学归纳法．

考点点评： 本题主要考查推理和数学归纳法的证明方法及思路．

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