已知数列{an}满足an+1=an−22an−3,n∈N*,a1=12.
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解题思路:(Ⅰ)由递推公式,令n=2,3,4易得;

(Ⅱ)通过a2,a3,a4猜想,再用数学归纳法证明,要注意分两步证明.

(Ⅰ)由递推公式,得a2=

a1−2

2a1−3=

1

2−2

2•

1

2−3=

3

4,(3分)

(Ⅱ)猜想:an=

2n−1

2n.(5分)

证明:①n=1时,由已知,等式成立.(6分)

②设n=k(k∈N*)时,等式成立.即ak=

2k−1

2k.(7分)

所以ak+1=

ak−2

2ak−3=

2k−1

2k−2

2•

2k−1

2k−3=

2k−1−4k

4k−2−6k=

2k+1

2k+2=

2(k+1)−1

2(k+1),

所以n=k+1时,等式成立.(9分)

根据①②可知,对任意n∈N*,等式成立.即通项an=

2n−1

2n.

点评:

本题考点: 数列递推式;数学归纳法.

考点点评: 本题主要考查推理和数学归纳法的证明方法及思路.