已知数列{an}满足：a1=3，an+1＝3an−2an，n∈N*．
1个回答
解题思路：（Ⅰ）根据已知条件求得
a
n+1
−1
a
n+1
−2
a
n
−1
a
n
−2
为定值，即可证明数列
{
a
n
−1
a
n
−2
}
为等比数列，再根据等比数列通项公式 的求法即可求得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）由前面求得的an的通项公式求出bn的通项公式，然后求出前n项和Sn的表达式，即可证明Sn＜2．
证明：（Ⅰ）∵
an+1−1
an+1−2＝
3an−2
an−1
3an−2
an−2＝
2(an−1)
an−2，又
a1−1
a1−2＝2≠0，
∴{
an−1
an−2}等比数列，且公比为2，
∴
an−1
an−2＝2n，
解得an＝
2n+1−1
2n−1；
（Ⅱ）bn＝an(an+1−2)＝
2n+1−1
2n−1(
2n+2−1
2n+1−1−2)＝
1
2n−1，
∴当n≥2时，bn＝
1
2n−1＝
1
2n−1+2n−1−1＜
1
2n−1Sn＝b1+b2+b3++bn＜1+
1
2+
1
22++
1
2n−1
=1+
1
2[1−(
1
2)n−1]
1−
1
2=2−(
1
2)n−1＜2
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．
考点点评： 本题主要考查了数列的递推公式以及数列与不等式的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，属于中档题．
相关问题
