若z/1+z^2是实数,求z应满足的条件
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设z = a + bi,其中,a,b为实数.

z^2 = a^2 - b^2 + 2abi.

z/(1 + z^2) = (a + bi)/[1 + a^2 - b^2 + 2abi]

= (a+bi)[1 + a^2 - b^2 - 2abi]/{(1 + a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2}

= {a[1 + a^2 - b^2] + 2ab^2 + i[b(1 + a^2 - b^2) - 2a^2b]}/{(1 + a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2}

若要z/(1 + z^2)为实数,则要

b(1 + a^2 - b^2) - 2a^2b = b[1 - a^2 - b^2] = 0,

则,

只要b = 0,或者,a^2 + b^2 = 1.

因此,

若z/1+z^2是实数,则z必须是实数,或者是模为1的复数.

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