（2007•朝阳区二模）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于

（2007•朝阳区二模）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．

（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；

（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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解题思路：（1）过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，通过证明AM=BF，EF=EM即可得出答案；

（2）延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM，根据（1）通过证明AM=BF，EF=EM即可得出答案．

（1）证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，

连接EM．

∵AM∥BC，

∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．

∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，

∴△ADM≌△BDF．

∴AM=BF，MD=DF．

又DE⊥DF，∴EF=EM．

∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．（3分）

（2）成立．

证明：延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM．

∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，

∴△ADM≌△BDF．

∴AM=BF，∠MAD=∠B．

∴AM∥BC．∴∠MAE=∠ACB=90°．

又DE⊥DF，MD=FD，∴EF=EM．

∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2（7分）

（说明：本题提供的两种证法对（1）、（2）两问均适用）

点评：

本题考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了勾股定理与全等三角形的判定与性质，有一定难度，关键是正确作出辅助线．

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