（本小题满分13分）设函数对任意的实数，都有 - 已解决

（本小题满分13分）设函数对任意的实数，都有，且当时，。（1）若时，求的解析式；（2）对于函数，试问：在

（本小题满分13分）

设函数

对任意的实数

，都有

，且当

时，

。

（1）若

时，求

的解析式；

（2）对于函数

，试问：在它的图象上是否存在点

，使得函数在点

处的切线与

平行。若存在，那么这样的点

有几个；若不存在，说明理由。

（3）已知

，且

，记

，求证：

。

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（1）

；（2）满足题意的点

有5个；（3）

6 .

本试题主要考查了函数的解析式的求解，以及过点的切线方程的问题，和不等式的证明的综合运用。

（1）第一问中将所求的变量转化为已知的区间，利用已知的关系式求解得到解析式。

（2）在第一问的基础上进一步得到函数的一般式，然后利用导数的思想，只要判定导函数为零，方程有无解即可。

（3）在第二问的得到函数的单调性，以及函数的最大值，然后结合函数的最值得到不等式，再结合等比数列的求和的思想得到。

（1）∵

设

，则

，∴

。…………………2分

（2）设

，则

，

∴

，即为

………4分

∵

∴问题转化为判断：关于

的方程

在

，

内是否解，即

在

，

内是否有解，……………………6分

令

函数

的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线

，

判别式

，

且

，

当

时，∵

，

∴方程

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