解题思路：（1）需证△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）可证△BPM∽△CQP，[PC/BM＝
CQ
BP]，PC=x，MQ=y，BP=4-x，QC=4-y，[x/4
＝
4−y
4−x]，即可得出y=
1
4
x
2
-x+4；
（3）应考虑四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形，四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形时的情况；由（2）中的函数关系，可得当y取最小值时，x=PC=2，P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，∠CPQ=30°，∠PQC=90°．
（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．
∵M是AD中点，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2） 在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．
∴△BPM∽△CQP．
∴[PC/BM=
CQ
BP]．
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y．
∴[x/4=
4-y
4-x]．
∴y=[1/4x2-x+4．
（3） ①当BP=1时，则有BP
∥
.
.]AM，BP
∥
.
.MD，
则四边形BPDM为平行四边形，
∴MQ=y=[1/4]×32-3+4=[13/4]．
当BP=3时，则有PC
∥
.
.AM，PC
∥
.
.MD，
则四边形APCM为平行四边形，
∴MQ=y=[1/4]×12-1+4=[13/4]．
∴当BP=1，MQ=[13/4]或BP=3，MQ=[13/4]时，
以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．此时平行四边形有2个．
②△PQC为直角三角形．
∵y=[1/4]（x-2）2+3，
∴当y取最小值时，x=PC=2．
∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°．
∴△PQC是直角三角形．
点评：
本题考点： 等腰梯形的判定；二次函数的应用；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查平行四边形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性质的应用．
1年前
2
55rp
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