已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若数列{an}满足a1=f（0），且f（an+1）=[1

f(-2-

a

n

)

(n∈

N

*

)

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1个回答

解题思路：根据题意，底数小于1的指数函数符合题中条件，不妨令f（x）=

(

1

2

)

x

，从而求得a1=f（0）=1，再由

f(

a

n+1

)＝

1

f(−2−

a

n

)

（n∈N*），得an+1=an+2，再由等差数列的定义求得结果．

根据题意，不妨设f（x）=(

1/2)x，（其中x∈R）；则a1=f（0）=1，

∵f(an+1)=

1

f(-2-an)]（n∈N*），∴(

1

2)an+1=

1

(

1

2)-2-an=(

1

2)2+an，∴an+1=an+2；

∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列；∴an=2n-1，∴a2010=4019．

故答案为：4019．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查了数列与函数的综合运用，本题中的条件满足底数小于1的指数函数，不妨用特殊值法来解答，可以提高解题效率．

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