已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜你时，f（ - 已解决

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜你时，f（x）＞人，且对任意的x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜你时，f（x）＞人，且对任意的x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{x_n}满足：x_人=f（你），

n+人

)＝

人

f(−2−

)

（n∈N^*），则x_2你人人的值为______．

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1个回答

解题思路：先通过等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，得出当且仅当x=0时有f（0）=1，由已知，由

n+1

)＝

f(−2−

)

，得f（a_n+1）f（-2-a_n）=1=f（0）所以a_n+1-2-a_n=0，即a_n+1=2+a_n，判断出数列{a_n}是等差数列，利用通项公式求解即可．

在f（x）f（y）=f（x+y）中取x=-q，y=手，得出f（-q）f（手）=f（-q），当x＜手时，f（x）＞q，所以f（手）=q．

当x＞手时，f（x）f（-x）=f（手）=q，f（x）=

f(−x)∈（手，q）．

又a_q=f（手）=q，

由f(an+q)＝

f(−2−an)，得f（a_n+q）f（-2-a_n）=q=f（手）所以a_n+q-2-a_n=手，即a_n+q=2+a_n

所以数列{a_n}是以q为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为a_n=q+2（n-q）=2n-q，

所以a_2手qq=4手2q．

故答案为：4手2q．

点评：

本题考点：数列递推式．

考点点评：本题是函数与数列的综合，考查赋值法、转化构造法、用到了等差数列的判定、通项公式求解及应用．

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