给定整数n≥2，设M0（x0，y0）是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2
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解题思路：先求抛物线y2=nx-1与直线y=x的交点，证明n≥2，再设（xm0，ym0）为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点，证明k=xm0+1xm0，满足k≥2，即可证得结论．
证明：y2=nx-1与y=x联立，可得x2-nx+1=0，∴x=
n±
n2−4
2
∴x0=y0=
n±
n2−4
2．
∴x0+
1
x0=n≥2．…（5分）
若（
xm0，
ym0）为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点，则k=
xm0+
1
xm0．…（10分）
记km=
xm0+
1
xm0，由于k1=n是整数，k2=
x20+
1
x20=（x0+
1
x0）2-2=n2-2也是整数，
且km+1=km（x0+
1
x0）-km-1=nkm-km-1，（m≥2）①
所以对于一切正整数m，km=
xm0+
1
xm0是正整数，且km≥2现在对于任意正整数m，
取k=
xm0+
1
xm0，满足k≥2，且使得y2=kx-1与y=x的交点为（
xm0，
ym0）．…（12分）
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查基本不等式的运用，属于中档题．
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