解题思路：首先弄清每段弧的圆心，半径及圆心角的度数，然后利用弧长公式即可求得．
从图中可以看出翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=[120π×1/180]，
第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，
第一次[120π×1/180]第二次同样没有路程，AC边上也是如此，
点P运动路径的长为[120π×1/180]×3=2π．
故答案为：2π．
点评：
本题考点： 弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质．
考点点评： 本题主要考查了弧长的计算公式，但是弄清弧长的圆心，半径及圆心角的度数是关键．
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