已知,三角形ABC中,角C=2角B,AH⊥BC于点H,D是AC的中点,DE‖AB.求证：EH=1/2AC
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已知：D是AC的中点,DE‖AB
∴DE是ΔACB的中位线
∴E是BC的中点
设点F是AB的中点
分别连接EF和HF
∴EF是ΔBAC的中位线
∴EF‖AC,且EF＝(1/2)AC（中位线定理）……………………(1)
∴∠BEF＝∠BCA＝2∠ABC（同位角相等）……………………(2)
在RtΔAHB中,HF是斜边的中线
∴HF＝AF＝BF
（直角三角形斜边中线的性质,证明如下：
设点G为BH的中点,连接FG
则FG是RtΔBHA的中位线
∴FG‖AH,且BG＝HG
∴∠BGF＝∠BHA＝90°
又FG＝FG（公共）
∴ΔBFG≌ΔHFG
∴HF＝BF）
∴∠HBF＝∠BHF…………………………………………………(3)
∵∠BEF＝∠EFH＋∠EHF（外角等于不相邻内角和）
∴∠EFH＝∠BEF－∠EHF…………………………………………(4)
把(2)(3)代入(4),得：
∠EFH＝2∠ABC－∠ABC＝∠ABC＝∠EHF
∴EF＝EH（等角所对的边相等）…………………………………(5)
结合(1)(5),得：
EH＝(1/2)AC
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