如图,已知点M(P,Q)在抛物线Y=X平方-1上,若以M为圆心的圆与X轴有两个交点A,B,且A,B两点的横坐标是关于X的
3个回答
⑴、把M(P,Q)代入抛物线Y=X²-1中,得Q=P²-1,∴M的坐标为M(P,P²-1)、
∴X²-2PX+Q=0变为
X²-2PX+P²-1=0
X=（-b±根号下b²-4ac）/2a
=（2P±根号下4P²-4P²+4）/2
=（2P±2）/2
即X=P-1,X=P+1.
∴A,B两点的横坐标是P-1,P+1.
∴当M在抛物线上运动时,圆M在X轴上截得的弦长是（P+1）-（P-1）=2.不变化.
⑵、若圆M与X轴的两个交点和抛物线的顶点C构成一个等腰三角形,
则有以下几种情况[设A（P-1,0)在左,B(P+1,0)在右]顶点C的坐标为（0,-1）
①、若点M在Y轴右侧,只有CA=AB时,才能构成一个等腰三角形.
而AB=2,∴CA=2.∴(P-1)²+1²=2²
P=1±√3.[P=1-√3不符题意,舍去.因为P=1-√3时,由A(-√3,0)B(2-√3,0)得出点M在Y轴左侧]
当P=1+√3时,Q=P²-1=3+2√3.
②、若点M在Y轴左侧,只有CB=AB时,才能构成一个等腰三角形.
而AB=2,∴CB=2.∴(P+1)²+1²=2²
P=-1±√3.[P=-1+√3不符题意,舍去.因为P=-1+√3时,由A(-2+√3,0)B(√3,0)得出点M在Y轴右侧]
当P=-1-√3时,Q=P²-1=3+2√3.
③、若点M在Y轴上,在点M一定在抛物线的顶点C,只有CA=CB时,才能构成一个等腰三角形.
即 （P-1)²+1²=(P+1)²+1²
解之,得
P=0
∴Q=P²-1=-1.
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