如图,在等腰梯形ABCD中,AB平行CD,AC⊥BD于O,BF⊥DC于F.求证:AB+DC=2BF
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证明：延长射线BA至点E,且AE=CF
因为AB平行CD,BF⊥DC于F,已知
所以ED=BF,平行线之间的距离处处相等
因为ABCD是等腰梯形,已知
所以AD=BC,等腰梯形的意义
在三角形ADE和三角形BCF中
AE=CF,已作
AD=BC,已证
ED=BF,已证
所以三角形ADE≌三角形BCF
所以∠E=∠C,全等三角形的对应角相等
因为AB平行CD,已知
所以∠BFD+∠EBF=180°
因为 BF⊥DC于F,已知
所以∠BFD=90°,垂直的意义
所以∠EBF=180°-∠BFD,等式性质
=90°,等量代换
所以∠E=90°,等量代换
所以DE平行BF,同旁内角互补,两直线平行
所以BEDF为正方形,正方形的定义
所以DF=BE=DE,正方形的性质
因为AE=FC,DE=BF,全等三角形的对应边相等
所以AB+DC=AE+AB+DC-DF,等量代换
即AB+DC=DF+BE
因为DF+BE=2DE,等式性质
所以AB+DC=2DE,等量代换
=2BF,等量代换
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