已知椭圆的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），直线x=4是它的一条准线．

已知椭圆的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），直线x=4是它的一条准线．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A1、A2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P是椭圆上满足|PA1|-|PA2|=2的一点，求tan∠A1PA2的值；

（3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A2为焦点的抛物线相交于点M、N，求MN中点Q的轨迹方程．

收藏：
0
点赞数：
0
评论数：
0
1个回答

解题思路：（1）根据焦点坐标得c，根据准线方程x=4可得a2，再根据b2=a2-c2求得b2，把a2和b2代入标准方程即可．

（2）由题设知，点P在以A1、A2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．根据（1）中的标准方程，可求得A1和A2的坐标，根据题意可知p点为椭圆和双曲线的交点，设双曲线方程为

x

2

m

2

-

y

2

n

2

=1，根据焦点和准线方程．分别可求得m和n，进而可得双曲线方程，根据椭圆和双曲线的标准方程，进而可求得点p的坐标，进而求得tan∠A1PA2的值．

（3）由题设知，抛物线方程为y2=8x．设M（x1，y1）、N（x2，y2），代入抛物线方程，设点Q（x，y）进而可得点Q的坐标，把y12=8x1和y22=8x2两式相减，然后把点Q的坐标（x，y）代入即可得到x与y的关系式，进而得到点Q的轨迹方程

（1）设椭圆方程为

x2

a2+

y2

b2=1（a＞b＞0）．

由题设有c=1，

a2

c=4，

∴a2=4

∴b2=a2-c2=3．

所求椭圆方程为

x2

4+

y2

3=1．

（2）由题设知，点P在以A1、A2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．

由（1）知A1（-2，0），A2（2，0），

设双曲线方程为

x2

m2-

y2

n2=1（m＞0，n＞0）．

则2m=2，m2+n2=4，

解得m=1，n=

3．

∴双曲线方程为x2-

y2

3=1．

由

x2

4+

y2

3=1，x2-

y2

3=1，

解得P点的坐标为（

2

10

5，

3

点评：

本题考点： 椭圆的标准方程；轨迹方程；椭圆的应用．

考点点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程的问题．椭圆的问题常与双曲线、抛物线和直线等问题一同考查，属高考的常考题目．

点赞数：
0
评论数：
0
相关问题
关注公众号
一起学习，一起涨知识