设有n个实数X1 X2 …… Xn 其中每一个不是+1就是-1,且X1/X2+X2/X3+……+Xn-1/Xn+Xn/X

设有n个实数X1 X2 …… Xn 其中每一个不是+1就是-1,且X1/X2+X2/X3+……+Xn-1/Xn+Xn/X1=0 试证n是4的倍数

那个 1啊2阿n啊n+1啊都是角标

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1个回答

以下设Xn+1=X1

注意到X1,Xn+1同号,X1,X2,...,Xn+1之中"变号"了偶数次

也就是说,有偶数个i(1≦i≦n)使得Xi=-Xi+1,不妨设此偶数为2t

易知

if Xi=-Xi+1 then (Xi-Xi+1)^2=4 (*)

if Xi=Xi+1 then (Xi-Xi+1)^2=0 (**)

由题目,(*),(**),有

0=-2(X1X2+X2X3+...+XnX1)=Σ[(Xi-Xi+1)^2]-2ΣXi^2=Σ[(Xi-Xi+1)^2]-2n

i.e.2n=Σ[(Xi-Xi+1)^2]=4*(2t),so n=4t

Q.E.D.

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