已知椭圆C：x225+y29＝1，直线l与椭圆C交于A，B两不同的点．P为弦AB的中点．
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解题思路：（1）设出P，A，B的坐标，得到三点坐标的关系，把A，B的坐标代入椭圆方程后作差，代入直线l的斜率整理后即可得到答案；
（2）由题意可知，若直线l存在，则l不与坐标轴垂直，同样利用点差法，结合弦中点的坐标求出斜率，则答案可求．
（1）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵P为弦AB的中点，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y．
则
x12
25+
y12
9＝1①
x22
25+
y22
9＝1②
②-①得，
y2−y1
x2−x1＝−
9(x1+x2)
25(y1+y2)．
∴−
9x
25y＝
4
5，整理得：9x+20y=0（-4＜x＜4）
∴点P的轨迹方程为：9x+20y=0（-4＜x＜4）；
（2）存在，直线l的方程为：12x-15y-25=0
假设存在直线l，使得弦AB恰好被点(
4
3，−
3
5)平分．
则直线l的斜率存在切部位0，设斜率为k，
由（1）得k＝
y2−y1
x2−x1＝−
9(x1+x2)
25(y1+y2)=−
9×
8
3
25×(−
6
5)＝
12
15．
∴直线l的方程为：y+
3
5＝
12
15(x−
4
3)，整理得，12x-15y-25=0．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；与直线有关的动点轨迹方程．
考点点评： 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“点差法”，涉及中点弦问题．利用点差法能起到事半功倍的作用，该题是中档题．
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