数学双曲线难题!双曲线x^2/4-y^2/12=1与一条过焦点F1的直线交于AB两点,求AF2·BF2的取值范围.
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设AB斜率为k,设点A坐标(x1,y1),B坐标(x2,y2)
半焦距c=√(4+12)=4,离心率e=c/a=2,左焦点F1坐标(-4,0),右焦点F2坐标(4,0)
右准线x=a²/c=1
直线AB方程为y=k(x+4),与x²/4 - y²/12=1 联立消去y得到：
k²(x+4)²=3x²-12
(k²-3)x²+8k²x+16k²+12=0此方程的两根即为AB两点横坐标
根据韦达定理,有x1+x2=8k²/(3-k²),x1x2=(16k²+12)/(k²-3)
根据双曲线性质,|AF2|=e|x1-a²/c|=2|x1-1|
|BF2|=e|x2-a²/c|=2|x2-1|
∴|AF2|*|BF2|=4|x1-1||x2-1|=4|(x1-1)(x2-1)|=4|x1x2-(x1+x2)+1|
代入x1+x2=8k²/(3-k²),x1x2=(16k²+12)/(k²-3)得：
|AF2|*|BF2|=4|(16k²+12)/(k²-3) - 8k²/(3-k²) +1|
=4|25+ 84/(k²-3)|≥4|25+ 84/(0-3)|=12
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