已知函数f（x）=ax-[1/x]-（a+1）ln - 已解决

已知函数f（x）=ax-[1/x]-（a+1）lnx（a＞0）．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线y=[3/4]x平行，求实数a的值；

（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极小值，且m≥-a²+4a，求实数m的取值范围．

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解题思路：（Ⅰ）由导函数的几何意义可知曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为f′（2），又切线与直线y＝34x平行，则f′(2)＝34，对y=f（x）求导得f′(x)＝a+1x2−a+1x，令f′(2)＝34⇒a＝2；（Ⅱ）令f′(x)＝a+1x2−a+1x＝0⇒x1＝1a，x2＝1，对x1和x2比较大小进行讨论，并与函数f（x）在x=1处取得极小值比较确定a＞1，又m≥-a2+4a，则m≥(−a2+4a)max＝14（其中a＞1）

（Ⅰ）f′(x)＝a+

x2−

a+1

x，由f′(2)＝

4⇒a＝2

（Ⅱ）由f′(x)＝a+

x2−

a+1

x＝0⇒x1＝

a，x2＝1

①当[1/a＜1，即a＞1时，函数f（x）在(0，

a)上单调递增，在(

a，1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增

即函数f（x）在x=1处取得极小值

②当

a＝1，即a=1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极小值，所以a≠1

③当

a＞1，即0＜a＜1时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在(1，

a)上单调递减，在(

a，+∞)上单调递增，即函数f（x）在x＝

a]处取得极小值，与题意不符合

即a＞1时，函数f（x）在x=1处取得极小值，又因为m≥-a²+4a，所以m≥4．

点评：

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查导函数的几何意义，考查分离参数法求恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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