已知函数f(x)=ax-[1/x]-(a+1)lnx(a>0).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线y=[3/4]x平行,求实数a的值;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极小值,且m≥-a2+4a,求实数m的取值范围.
解题思路:(Ⅰ)由导函数的几何意义可知曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为f′(2),又切线与直线y=34x平行,则f′(2)=34,对y=f(x)求导得f′(x)=a+1x2−a+1x,令f′(2)=34⇒a=2;(Ⅱ)令f′(x)=a+1x2−a+1x=0⇒x1=1a,x2=1,对x1和x2比较大小进行讨论,并与函数f(x)在x=1处取得极小值比较确定a>1,又m≥-a2+4a,则m≥(−a2+4a)max=14(其中a>1)
(Ⅰ)f′(x)=a+
1
x2−
a+1
x,由f′(2)=
3
4⇒a=2
(Ⅱ)由f′(x)=a+
1
x2−
a+1
x=0⇒x1=
1
a,x2=1
①当[1/a<1,即a>1时,函数f(x)在(0,
1
a)上单调递增,在(
1
a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
即函数f(x)在x=1处取得极小值
②当
1
a=1,即a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极小值,所以a≠1
③当
1
a>1,即0<a<1时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,
1
a)上单调递减,在(
1
a,+∞)上单调递增,即函数f(x)在x=
1
a]处取得极小值,与题意不符合
即a>1时,函数f(x)在x=1处取得极小值,又因为m≥-a2+4a,所以m≥4.
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题考查导函数的几何意义,考查分离参数法求恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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