Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=√3,点p是△ABC内一点,且满足∠APC=∠APB=∠BPC
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由定义知p点为费马点,AB=c,BC=a,AC=b设PA=x,PB=y,PC=z,∠APB=∠BPC=∠CPA=120度

那么由余弦定理

x^2+y^2+xy=c^2

y^2+z^2+yz=a^2

z^2+x^2+xz=b^2

三式相加

(x+y+z)^2=(a^2+b^2+c^2+3(xy+yz+zx))/2 .(1)

由正弦定理

√3xy/4=S⊿PAB

√3yz/4=S⊿PBC

√3zx/4=S⊿PAC

三式相加

xy+yz+zx=4S⊿ABC/√3 ...(2)

由海伦公式

S⊿ABC=√[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]/4 ...(3)

由(1),(2),(3),解得

PA+PB+PC=√{(a^2+b^2+c^2+√[3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)])/2}

代入得PA+PB+PC=√7

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