如图,有一块半径为2的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是圆O的直径,上底CD的端点在圆周上.
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解题思路:(1)作DE⊥AB于E,连接BD,根据相似关系求出AE,而CD=AB-2AE,从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式,根据AD>0,AE>0,CD>0可求出定义域;

(2)利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值.

(1)如图,作DE⊥AB于E,连接BD.

因为AB为直径,所以∠ADB=90°.(1分)

在Rt△ADB与Rt△AED中,∠ADB=90°=∠AED,∠BAD=∠DAE,

所以Rt△ADB∽Rt△AED.(3分)

所以[AD/AB=

AE

AD],即AE=

AD2

AB.

又AD=x,AB=4,所以AE=

x2

4.(5分)

所以CD=AB−2AE=4−2×

x2

4=4−

x2

2,(6分)

于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4−

x2

2+x=−

1

2x2+2x+8(7分)

由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x>0,

x2

4>0,4−

x2

2>0,

解得0<x<2

2.(9分)

故所求的函数为y=−

1

2x2+2x+8(0<x<2

2).(10分)

(2)因为y=−

1

2x2+2x+8=−

1

2(x−2)2+10,(12分)

又0<x<2

2,所以,当x=2时,y有最大值10.(14分)

点评:

本题考点: 函数模型的选择与应用.

考点点评: 射影定理的应用是解决此题的关键,二次函数在解决实际问题中求解最值的常用的方法,属于中档题.

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