如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯 - 已解决

如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上．

（1）求梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，并求出它的定义域；

（2）求梯形ABCD的周长y的最大值．

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解题思路：（1）作DE⊥AB于E，连接BD，根据相似关系求出AE，而CD=AB-2AE，从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式，根据AD＞0，AE＞0，CD＞0可求出定义域；

（2）利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．

（1）如图，作DE⊥AB于E，连接BD．

因为AB为直径，所以∠ADB=90°．（1分）

在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，

所以Rt△ADB∽Rt△AED．（3分）

所以[AD/AB＝

AD]，即AE＝

AD2

AB．

又AD=x，AB=4，所以AE＝

4．（5分）

所以CD＝AB−2AE＝4−2×

4＝4−

2，（6分）

于是y＝AB+BC+CD+AD＝4+x+4−

2+x＝−

2x2+2x+8（7分）

由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，

4＞0，4−

2＞0，

解得0＜x＜2

2．（9分）

故所求的函数为y＝−

2x2+2x+8(0＜x＜2

2)．（10分）

（2）因为y＝−

2x2+2x+8＝−

2(x−2)2+10，（12分）

又0＜x＜2

2，所以，当x=2时，y有最大值10．（14分）

点评：

本题考点：函数模型的选择与应用．

考点点评：射影定理的应用是解决此题的关键，二次函数在解决实际问题中求解最值的常用的方法，属于中档题．

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