在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,ABCD为直角梯形,BC//AD,∠ADC=90°,BC=CD=1/2
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证明：①取PD中点G,连接GE,GF,则 GE,GF为中位线

∴ GE//PA GF//CD DE=AD/2

又 BC//AD,BC=AD/2,得 DE//BC且DE=BC

∴ 四边形BCDE为平行四边形,则 BE//CD

∴ BE//GF,即 B,E,F,G共面,且PA不在面内

故 PA//平面BEF

连接CE,则 AE//BC且AE=BC ∴ 四边形ABCE为平行四边形

则 AB//CE ∠PCE为PC与AB所成角,即∠PCE=45°

PA=PD,E为AD中点,得 PE⊥AD 侧面PAD⊥底面ABCD于AD

∴ PE⊥底面ABCD,则 PE⊥CE ∴ ∠CPE=∠PCE=45°,PE=CE

在△CDE中,∠ADC=90°,CD=DE=1,故 PE=CE=√2

由BE//CD,∠ADC=90°,得 BE⊥AD 则 BE⊥平面PAD

∴ BE⊥AE,BE⊥GE(B,E,F,G共面) 则 ∠AEG为二面角F-BE-A的平面角

由 GE//PA,得 ∠PAE+∠AEG=180° ∴ cos∠AEG=-cos∠PAE

在△PAD中,PE=√2,PE⊥AD,AE=DE=1,PA=PD,则 PA=√3

故 cos∠AEG=-cos∠PAE=-AE/PA=-√3/3 为所求

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