如图,正三角形ABC的边长为a,D是BC的中点,P是AC边上的点,连接PB和PD得到△PBD △PBD的周长的最小值
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1个回答

此题能解

(如图)

⑴作BK⊥AC并延长到Q,使KQ=BK

⑵连接DQ交AC于P

⑶连接BP

则△BDP的周长最小

证明:据作图

Rt△PKQ≌Rt△PKB

∴PQ=PB

∴△PBD周长=BD+PB+PD

=BD+(PQ+PD)

=BD+DQ

在AC上任取一点E,连BE,EQ,则EQ=BE

且有:EQ+ED>DQ(三角形两边之和大于第三边)

∴EQ+ED+BD>DQ+BD

∴BE+ED+BD>(DP+PQ)+BD

BE+ED+BD>(DP+BP)+BD

即△BDE周长>△PBD周长

这就是说,在AC上,P点位置是使连接B和D点所形成的三角形的周长为最小.

最小值=(BP+PD)+BD

=DQ+BD

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