已知数列{an}，Sn是前n项的和，且满足a1=2，对一切n∈N*都有Sn+1=3Sn+n2+2成立，设bn=an+n．
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（1）∵a1=2，对一切n∈N*都有Sn+1=3Sn+n2+2成立，
令n=1，可得 2+a2=3×2+1+2，求得a2=7．
（2）证明：∵Sn+1=3Sn+n2+2，∴Sn=3Sn-1+（n-1）2+2，
∴两式相见可得an+1=3an+2n-1，即an+1+（n+1）=3an+2n-1+（n+1）=3（an+n） ①．
又bn=an+n，∴由①可得 bn+1=3（an+1+n）=3bn，∴数列{bn}是公比为3的等比数列．
（3）由于b1=a1+1=3，故bn=3×3n-1=3n，
∴
1
b1+
1
b3+…+
1
b2n?1=
1/3]+[1
33+
1
35+…+
1
32n?1=
1/3[1?(
1
9)n]
1?
1
9]=[3/8]-[3/8]×(
1
9)n，
∴
lim
n→∞（[1
b1+
1
b3+…+
1
b2n?1）=
lim
n→∞ （
3/8]-[3/8]×(
1
9)n ）=[3/8]．
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