（本小题满分14分）已知实系数一元二次方程 x 2 + px + q =0的两根分别为 x 1 ， x 2 。（1）若上
1个回答
（1）根据“实系数方程虚根共
轭成对出现”，知 x 2=4+ i ，……2分
根据韦达定理，知 p =-( x 1+ x 2)=-8； q = x 1· x 2=17。 ……2分
（2）①当△= p 2-4 q <0时，方程的两根为虚数，且
，
∴| x 1|=| x 2|=1，∴ q =1。∴ p =-( x 1+ x 2)=-2Re( x 1)∈[-2，2]，
又根据△= p 2-4 q <0，∴ p ∈(-2，2)。
……3分
②（法一）当△= p 2-4 q ≥0时，方程的两根为实数，
（2-1）当 q >0时，方程的两根同号，∴| x 1|
+| x 2|=| x 1+ x 2|=| p |=2，∴ p =±2；
（2-2）当 q =0时，方程的一根为0，∴| x 1|+| x 2|=| x 1+ x 2|=| p |=2，∴ p =±2；
（2-2）当 q <0时，方程的两根异号，∴| x 1|+| x 2|=| x 1- x 2|=2，
∴4=( x 1+ x 2) 2-4 x 1x 2= p 2-4 q ，∴ p 2=4+4 q ∈[0，4)，∴ p ∈(-2，2)
∴当△≥0时， p ∈[-2，2]。……3分
综上， p 的取值范围是[-2，2]。
（法二）当△= p 2-4 q ≥0时，方程的两根为实数，
∴| p |=| x 1+ x 2|≤| x 1|+| x 2|=2，当 x 1与 x 2同号或有一个为0时等号取到。特别的，取 x 1=2， x 2=0时 p =-2；取 x 1
=-2， x 2=0时 p =2。
∴ p ∈[-2，2]。……3分
综上， p 的取值范围是[-2，2]
略
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