A的一个特征值是λ的话,f(A)为关于A的常系数多项式,则其对应的特征值就是f(λ).
本例证明如下：
根据特征值的定义,存在非零列向量x及常数λ满足
Ax=λx
也即(A-λE)x=0有非零解.
那么
(A²+2A+E)x=A²x+2Ax+x
=A*Ax+2Ax+x
=A*λx+2λx+x
=λ*Ax+2λx+x
=λ²x+2λx+x
=(λ²+2λ+1)x
故A²+2A+E有一个特征值为
λ²+2λ+1=2²+2*2+1=9
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