F是一个数域,在线性空间F[X]4定义变换σ（f（x））=f（x）+f ’（x）,f（x）∈F[x ]4
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题目是次数不超过4次的多项式构成的线性空间吧?我用A表示变换.
1、任意的f(x),g(x)和实数a,有A(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)+(f(x)+g(x))'=f(x)+f'(x)+g(x)+g'(x)=A(f(x))+A(g(x)),
A(af(x))=af(x)+(af(x))'=a(f(x)+f’(x))=aA(x),
因此A是线性变换.
2、基是1 1+2x,1+2x+3x^2,x--x^3?
A(1)=1+1'=1=1*1+0*(1+2x)+0*(1+2x+3x^2)+0*(x-x^3);
A(1+2x)=3+2x=2*1+1*(1+2x)+0*(1+2x+3x^2)+0*(x-x^3);
A(1+2x+3x^2)=-1*1+3(2x+1)+1*(1+2x+3x^2)+0*(x-x^3);
A(x-x^3)=1*1+1*(2x+1)-1*(1+2x+3x^2)+1*(x-x^3),
因此矩阵为【1 2 -1 1
0 1 3 1
0 0 1 -1
0 0 0 1】.
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