设a，b，c分别为一个三角形三边的边长，证明a2b（a-b）+b2c（b-c）+c2a（c-a）≥0，并指出等号成立的条
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解题思路：不妨设a≥b≥c，此时[1/a]≤[1/b]≤[1/c]，利用a（b+c-a）≤b（c+a-b）≤c（a+b-c），由排序不等式可得[1/c]•a（b+c-a）+[1/a]•b（c+a-b）+[1/b]•c（a+b-c）≤[1/a]•a（b+c-a）+[1/b]•b（c+a-b）+[1/c]•c（a+b-c）=a+b+c，重新分组整理，即可证得结论．
证明：不妨设a≥b≥c，此时[1/a]≤[1/b]≤[1/c]，
∵a（b+c-a）≤b（c+a-b）≤c（a+b-c），
于是由排序不等式可得：[1/c]•a（b+c-a）+[1/a]•b（c+a-b）+[1/b]•c（a+b-c）≤[1/a]•a（b+c-a）+[1/b]•b（c+a-b）+[1/c]•c（a+b-c）=a+b+c，
∴[1/c]•a[（b-a）+c]+[1/a]•b[（c-b）+a]+[1/b]•c[（a-c）+b]≤a+b+c，
即[1/c]•a（b-a）+[1/a]•b（c-b）+[1/b]•c（a-c）≤0，同乘abc得，
a2b（b-a）+b2c（c-b）+c2a（a-c）≤0，
∴a2b（a-b）+b2c（b-c）+c2a（c-a）≥0，
上式当且仅当[1/a]=[1/b]=[1/c]或者a（b+c-a）=b（c+a-b）=c（a+b-c），即a=b=c时取等号．
点评：
本题考点： 不等式的证明．
考点点评： 本题考查不等式的证明，着重考查排序不等式的应用，考查等价转化思想与与创新思维、抽象思维、推理证明的能力，属于难题．
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