已知函数f(x)＝12x2−b，g(x)＝3a2lnx−2ax(其中a＞0)的图象有公共点，且在该点处的切线相同．
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解题思路：（I）设出函数的公共点，对两个函数求导，根据两个函数在这个点上的切线相同，得到两个关系式，整理变化出b的函数式，求出最大值．
（II）构造新函数，对两个函数做差，构造新函数，对新函数求导，得到函数在正数范围上的单调性，求出最小值，最小值等于0，得到不等式．
（I）设函数f（x）与函数g（x）的图象有公共点（x0，y0）
又f′(x)＝x，g′(x)＝
3a2
x−2a
由题意：
1
2
x02−b＝3a2lnx0−2ax0，①
x0＝
3a2
x0−2a，②
由②得x0=a（其中x0=-3a舍去）
代入到①中得
设h(a)＝
5
2a2−3a2lna⇒h′(a)＝2a(1−3lna)
考虑到a＞0，由h′(a)＞0⇒0＜a＜e
1
3，由h′(a)＜0⇒a＞e
1
3
∴h(a)在(0，e
1
3]上单调递增，在[e
1
3，+∞)上单调递减，
故a＝e
1
3时，h(a)即b取得最大值[3/2e
2
3]．
（II）设F(x)＝f(x)−g(x)＝
1
2x2+2ax−3a2lnx−b(x＞0)
F′(x)＝
(x−a)(x+3a)
x(x＞0)
∴F（x）在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
故F（x）≥F（a）=f（a）-g（a）=f（x0）-g（x0）=0，
即f（x）≥g（x）
点评：
本题考点： 导数的几何意义；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查导数在求最值的应用，本题解题的关键是构造新函数，根据新函数的性质，得到要求的结论，注意本题的运算不要出错．
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