平面直角坐标系中过C（p，0）作直线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点，如图设A（x1，y1）、B（x2，y
1个回答
解题思路：（1）分情况讨论：当直线AB垂直于x轴时，计算得y1y2=-2p2；当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），代入抛物线方程得ky2-2py-2p2k=0，因此有y1y2=-2p2为定值．
（2）先表示出
S
△ADB
＝
1
2
DC•|
y
1
−
y
2
|
，再分类讨论：当直线AB垂直于x轴时情况比较简单；当直线AB不垂直于x轴时，由（1）知
y
1
+
y
2
＝
2p
k
，最后利用基本不等式求得△ADB面积的最小值即可．
（1）当直线AB垂直于x轴时，y1＝
2p，y2＝−
2p，因此y1y2=-2p2（定值）；…．（1分）
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），
由
y＝k(x−p)
y2＝2px得ky2-2py-2p2k=0，∴y1y2=-2p2..（3分）
因此有y1y2=-2p2为定值．…．（1分）
（2）D（-p，0），∴DC=2p.S△ADB＝
1
2DC•|y1−y2|．…（1分）
当直线AB垂直于x轴时，S△ADB＝
1
2•2p•2
2p＝2
2p2；…（1分）
当直线AB不垂直于x轴时，由（1）知y1+y2＝
2p
k，
因此|y1−y2|＝
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．
考点点评： 本题考查弦长的计算和直线与抛物线位置关系的综合运用，解题时要注意分类讨论思想和弦长公式的合理运用，注意合理地进行等价转化．
相关问题
