1．(2012·石家庄模拟)如图,在多面体ABCDEF中,ABCD为菱形,∠ABC＝60°,EC⊥平面ABCD,FA⊥平面ABCD,G为BF的中点,若EG∥平面ABCD.
(1)求证：EG⊥平面ABF；
(2)若AF＝AB＝2,求多面体ABCDEF的体积．
2. 如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,BC⊥CF,AD＝,EF＝2,BE＝3,CF＝4.
(1)求证：平面ADFE⊥平面DCE；
(2)当AB的长为何值时,四面体D—CEF的体积为6?
题型四
1．(1)证明 取AB的中点M,连接GM,MC,
又G为BF的中点,∴GM∥FA.
∵EC⊥平面ABCD,FA⊥平面ABCD,
∴EC∥FA,
∴EC∥GM.
∵平面CEGM∩平面ABCD＝CM,
EG∥平面ABCD,∴EG∥CM.
连接AC,在正三角形ABC中,CM⊥AB,又FA⊥CM,
∴EG⊥AB,EG⊥FA,
又∵AB∩FA＝A,∴EG⊥平面ABF.
(2)解 由(1)知EC∥GM,GE∥CM,
∴四边形CEGM为平行四边形,
∴CE＝GM＝AF＝1.
依题意可得四棱锥B—ACEF与D—ACEF的体积相等,则多面体ABCDEF的体积V＝VB—ACEF＋VD—ACEF
＝S四边形ACEF·BD＝××(1＋2)×2×2＝2.
2．(1)证明 ∵BC⊥CF,BE∥CF,
∴BC⊥BE,又BC＝AD＝,BE＝3,
∴在△BCE中,EC＝2,
∵在△FCE中,CF2＝EF2＋CE2,
∴EF⊥CE,
由题意知,DC⊥平面EFCB,∴DC⊥EF,
又DC∩EC＝C,∴EF⊥平面DCE,
∵EF平面ADFE,
∴平面ADFE⊥平面DCE.
(2)解 由(1)可知Rt△CEF的面积为
S△CEF＝×2×2＝2,
所以四面体D—CEF的体积
VD—CEF＝S△CEF×CD
＝×2×CD＝6,
所以AB＝CD＝3,
所以当AB＝3时,四面体D—CEF的体积为6.
