如图,已知直线l1与抛物线x^2=4y相切于P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,点B的坐标为(2,0)
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（1）抛物线导数为y'=x/2

在点P(2,1)处的切线斜率为y'(2)=1

∴切线方程为y=1*(x-2)+1=x-1

与x轴的交点为A(1,0),已知B(2,0)

设点M坐标为M(x,y),则

向量AB=(1,0), 向量BM=(x-2,y)

|AM|=√[(x-1)^2+y^2]

由向量AB*向量BM+√2|AM|=0

可得 x-2+0+√2*√[(x-1)^2+y^2]=0

整理得 x^2/2+y^2=1

此即为点M的轨迹C的方程,为一个椭圆

（2）因△OBF与△OBQ有相同底边OB,又F,Q在x轴同侧,

∴两个三角形面积比即为交点F,Q的纵坐标之比

设过点B(2,0)的直线方程为 x=ky+2

代入椭圆得 (ky+2)^2+2y^2=2

整理得 (k^2+2)y^2+4ky+2=0

令a=(k^2+2), b=4k, c=2

当△=b^2-4ac=16k^2-4*2(k^2+2)=8(k^2-2)≥0时有解,此时k≥√2或k≤-√2

可解出 y1=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a) ,y2=-[b±√(b^2-4ac)]/(2a)

不妨设F纵坐标为y1,Q纵坐标为y2,则

S△OBF：S△OBQ=y1/y2

=-[-b±√(b^2-4ac)]/[b±√(b^2-4ac)]

=-[-4k±√(8(k^2-2))]/[4k±√(8(k^2-2))]

=-[-√2k±√(k^2-2)]/[√2k±√(k^2-2)]

其具体数值由直线斜率k决定,正负号严格对应

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