已知直线L过点P(2,1),且与X轴,Y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,AB最小时直线方程
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解法1.设此直线方程为x/a+y/b=1,(a,b都是正数)

直线过p(2,1),2/a+1/b=1,得b=a/(a-2),a≠2,

设t=│OA││OB│=a*b=a*a/(a-2),即t=a²/(a-2),

因为a≠2,所以a²-ta+2t=0,a是实数,

⊿=t²-8t≥0,因为t>0,可得S≥8.

即t的最小值是8,

此时有a=4,b=2,

直线L方程为x/4+y/2=1,即x+2y-4=0.

解法2.设此直线方程为 y-1=k(x-2),k<0.

得A((2k-1)/k,0),B(0,-(2k-1)),

t=│OA││OB│=| (2k-1)/k*【-(2k-1)】|

=| (4k²+1-4k)/k|

=| 4k+1/k-4|,

因为k<0,-4k-1/k>0,

由均值不等式,-4k-1/k≥2√(-4k)(-1/k)=4,

4k+/k-4≤ -8,t≤ |-8|=8,

当且仅当-4k=-1/k,即k=-1/2 (k<0)时t有最小值8.

故直线方程为 y-1=-1/2(x-2),

即x+2y-4=0.