在平面直角坐标系xoy中,抛物线y = x2上异于 - 已解决

在平面直角坐标系xoy中,抛物线y = x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B,满足AO⊥BO,

求△AOB的重心G的轨迹方程.

△AOB的面积是否存在最小值求出

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A(a,a²),B(b,b²)

OA斜率=a²/a=a

OB斜率=b

所以ab=-1,b=-1/a

B(-1/a,1/a²)

所以OAB重心x=(a-1/a+0)/3,y=(a²+1/a²+0)/3

所以a-1/a=3x,a²+1/a²=3y

(3x)²=a²-2+1/a²=3y-2

所以y=3x²+2/3

AOB是直角三角形

面积=OA*OB/2

A(a,a²),B(-1/a,1/a²)

OA*OB=√(a²+a^4)*√(1/a²+1/a^4)

即求(a²+a^4)*(1/a²+1/a^4)最小值

(a²+a^4)*(1/a²+1/a^4)=1+1/a²+a²+1=a²+1/a²+2

AO不重合,a²>0

a²+1/a²+2>=2√(a²*1/a²)+2=4

所以OA*OB=√(a²+a^4)*√(1/a²+1/a^4)最小=√4=2

所以面积最小=2/2=1

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