(13分)
在平面直角坐标系xOy中,抛物线
上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足
(如图所示).
(Ⅰ)求
得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)
的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
(I)设△AOB的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则
(1)…1分
∵OA⊥OB ∴
,即
,(2)…………3分
又点A,B在抛物线上,有
,代入(2)化简得
…4分
∴
所以重心为G的轨迹方程为
……………………………………6分
(II)
由(I)得
……11分
当且仅当
即
时,等号成立。………………………12分
所以△AOB的面积存在最小值,存在时求最小值1; …………………13分
略
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