已知函数f（x）=x2-2lnx+a（a为实常数）．
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解题思路：（1）由
f
′
(x)＝2x−
2
x
，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（2）当x在
[
1
2
，2]
上变化时，对f'（x），f（x）的变化情况列表讨论，由此能求出f（x）在区间[[1/2]，2]上的值域．
（1）f′(x)＝2x−
2
x，…（1分）
函数f（x）的定义域为{x|x＞0}
令f′（x）＞0，有
x2−1＞0
x＞0，解之得x＞1…（3分）
令f′（x）＜0，有
x2−1＜0
x＞0，或0＜x＜1…（4分）
所以函数f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）．…（6分）
[端点1包含与否，不扣分]
（2）当x在[
1
2，2]上变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：…（10分）
由表知，函数f（x）min=1-a，…（12分）
又f(
1
2)＝(
1
2)2−2ln
1
2+a＝
1
4+2ln2+a，f（2）=22-2ln2+a=4-2ln2+a，f(
1
2)−f(2)＝(
1
4+2ln2+a)−(4−2ln2+a)＝4ln2−
14
4＜0，
所以f（x）max=4-2ln2+a．…（14分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
