已知函数f（x）=x+[m/x]+2（m为实常数）．
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解题思路：（Ⅰ）由题意，任取x1、x2∈[2，+∞），且x1＜x2，然后作差即可判断出实数m的取值范围；（Ⅱ）不等式f（x）≤kx在x∈[12，1]有解可转化为x∈[12 ， 1]时，k≥mx2+2x+1有解，由此得k≥(mx2+2x+1)min，故问题转化为求(mx2+2x+1)min．
（Ⅰ）由题意，任取x1、x2∈[2，+∞），且x1＜x2，
则f(x2)−f(x1)＝x2+
m
x2+2−(x1+
m
x1+2)=(x2−x1)•
x1x2−m
x1x2＞0，…（2分）
因为x2-x1＞0，x1x2＞0，所以x1x2-m＞0，即m＜x1x2，…（4分）
由x2＞x1≥2，得x1x2＞4，所以m≤4．所以，m的取值范围是（-∞，4]．…（6分）
（Ⅱ）由f（x）≤kx，得x+
m
x+2≤kx，
因为x∈[
1
2 ， 1]，所以k≥
m
x2+
2
x+1，…（7分）
令t＝
1
x，则t∈[1，2]，所以k≥mt2+2t+1，令g（t）=mt2+2t+1，t∈[1，2]，
于是，要使原不等式在x∈[
1
2 ， 1]有解，当且仅当k≥g（t）min（t∈[1，2]）． …（9分）
因为m＜0，所以g(t)＝m(t+
1
m)2+1−
1
m图象开口向下，对称轴为直线t＝−
1
m＞0，
因为t∈[1，2]，故当0＜−
1
m≤
3
2，即m≤−
2
3时，g（t）min=g（2）=4m+5；
当−
1
m＞
3
2，即−
2
3＜m＜0时，g（t）min=g（1）=m+3． …（13分）
综上，当m≤−
2
3时，k∈[4m+5，+∞）；
当−
2
3＜m＜0时，k∈[m+3，+∞）．…（14分）
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的性质．
考点点评： 本考查函数恒成立问题，函数的单调性的应用，函数单调性的定义应用，综合性强，考查了转化思想，分类讨论的思想
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