已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n 为其前n项和，且满足 a n 2 = S 2n-1 ，n
1个回答
（1）在a n 2=S 2n-1中，令n=1，n=2，
得
a 21 = S 1
a 22 = S 3 ，即
a 21 =
a 1
(a 1 +d ) 2 =
3a 1 +3d （2分）
解得a 1=1，d=2，（3分）
∴a n=2n-1．
∵ b n =
1
a n • a n+1 =
1
(2n-1)•(2n+1) =
1
2 （
1
(2n-1) -
1
(2n+1) ），
∴Tn=
1
2 （1-
1
3 +
1
3 -
1
5 +…+
1
(2n-1) -
1
(2n+1) ）=
n
2n+1 ．（5分）
（2）①当n为偶数时，要使不等式λT n＜n+8•（-1） n恒成立，即需不等式λ＜
(n+8)(2n+1)
n =2n+
8
n +17恒成立．（6分）∵2n+
8
n ≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ需满足λ＜25．（7分）
②当n为奇数时，要使不等式λT n＜n+8•（-1） n恒成立，即需不等式λ＜
(n-8)(2n+1)
n =2n-
8
n -15恒成立．（8分）
∵2n-
8
n 是随n的增大而增大，
∴n=1时，2n-
8
n 取得最小值-6．
∴此时λ需满足λ＜-21．（9分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．（10分）
（3）T 1=
1
3 ，Tm=
m
2m+1 ，Tn=
n
2n+1 ，
若T 1，T m，T n成等比数列，则（
m
2m+1 ）2=
1
3 （
n
2n+1 ），
即
m 2
4 m 2 +4m+1 =
n
6n+3 ．（11分）
由
m 2
4 m 2 +4m+1 =
n
6n+3 ，可得
3
n =
-2 m 2 +4m+1
m 2 ＞0，
即-2m 2+4m+1＞0，（12分）
∴1-
6
2 ＜m＜1+
6
2 ．（13分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {T n}中的T 1，T m，T n成等比数列．（14分）
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