（1）已知x、y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2；
1个回答
解题思路：（1）作差（x3+y3）-（x2y+xy2）后化积，利用综合法对乘积的符号进行判断，即可证得结论成立；
（2）从已知a3-b3=a2-b2出发，利用a＞0，b＞0，a≠b，结合基本不等式可求得3（a+b）2-4（a+b）＜0，从而可求a+b的取值范围．
（1）证明：∵（x3+y3）-（x2y+xy2）
=x2（x-y）+y2（y-x）
=（x-y）（x2-y2）
=（x-y）2（x+y）
又x、y都是正实数，
∴（x-y）2≥0、x+y＞0，即（x3+y3）-（x2y+xy2）≥0
∴x3+y3≥x2y+xy2；
（2）∵a3-b3=a2-b2，
∴（a-b）（a2+ab+b2）=（a-b）（a+b），
又a≠b，故a-b≠0，
∴a2+ab+b2=a+b，
即（a+b）2-ab=a+b，又a＞0，b＞0，a≠b，
∴ab=（a+b）2-（a+b）＜(
a+b
2)2，
∴3（a+b）2-4（a+b）＜0，
∴0＜a+b＜[4/3]．
点评：
本题考点： 综合法与分析法(选修）；不等式的证明．
考点点评： 本题考查综合法证明不等式，考查等价转化思想与基本不等式的应用，考查推理与证明能力，属于难题．
