已知x,y是正实数,且xy-x-y=1,求证x+y≥2+√2
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x>0,y>0

根据基本不等式:

x+y≥2√(xy)

∴xy-x-y=xy-(x+y)=1≤xy-2√(xy)

∴xy-2√(xy)≥1

xy-2√(xy)-1≥0

令√(xy)=t （t≥0）

解得:

√(xy)≤1-√2(舍去)

√(xy)≥1+√2

∴xy≥(1+√2)^2

=3+2√2

∵x+y=xy-1

∴x+y≥2+2√2

也可以先从x+y考虑

xy-(x+y)=1≤(x+y)^2/4-(x+y)

∴(x+y)^2/4-(x+y)≥1

∴(x+y)^2-4(x+y)-4≥0

解得:

x+y≥2+2√2

综上所述

x+y的取值范围是:x+y≥2+2√2

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