已知a,b,c∈R+ ,且abc=1 求证：a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)≥3/2
1个回答

a,b,c∈R+

均值定理

a^2/(b+c)+(b+c)/4>=2√[a^2/(b+c)*(b+c)/4]=a

同理

b^2/(a+c)+(a+c)/4>=2√[b^2/(a+c)*(a+c)/4]=b

c^2/(a+b)+(a+b)/4>=2√[c^2/(a+b)*(a+b)/4]=c

即

a^2/(b+c)+(b+c)/4+b^2/(a+c)+(a+c)/4+c^2/(a+b)+(a+b)/4>=a+b+c

a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)≥(a+b+c)/2

又abc=1

a+b+c>=3(3次根号下abc)=3

所以

a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(a+b)≥(a+b+c)/2>=3/2

当且仅当a=b=c=1时等号成立

相关问题