若f（x）在R上可导，（1）求f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函

若f（x）在R上可导，

（1）求f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数的关系；

（2）证明：若f（x）为偶函数，则f′（x）为奇函数．

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（1）设f（-x）=g（x），则

g′（a）=

lim

△x→0

g(a+△x)-g(a)

△x

=

lim

△x→0

f(-a-△x)-f(-a)

△x

=-

lim

-△x→0

f(-a-△x)-f(-a)

-△x

=-f′（-a）．

∴f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数互为相反数．

（2）证明：f′（-x）=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-f′（x）．

∴f′（x）为奇函数．

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